Hakikat Matematika

Untuk menjawab pertanyaan “Apakah matematika itu ?” tidak dapat dengan mudah dijawab. Hal ini dikarenakan sampai saat ini belum ada kepastian mengenai pengertian matematika karena pengetahuan  dan  pandangan  masing-masing  dari  para  ahli  yang  berbeda-beda.  Ada  yang mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang bilangan dan ruang, matematika merupakan bahasa simbol, matematika adalah bahasa numerik, matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif, matematika adalah metode berpikir logis, matematika adalah ilmu yang mempelajari hubungan pola, bentuk dan struktur, matematika adalah ratunya ilmu dan juga menjadi pelayan ilmu yang lain.

Kata matematika berasal dari perkataan Latin mathematika yang mulanya diambil dari  perkataan Yunani mathematike yang berarti mempelajari. Perkataan itu mempunyai asal katanya mathema  yang  berarti  pengetahuan  atau  ilmu (knowledge,  science).  Kata  mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein atau mathenein yang artinya belajar (berpikir). Jadi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar). Matematika lebih menekankan kegiatan dalam dunia rasio(penalaran), bukan menekankan dari hasil eksperimen atau hasil observasi matematika terbentuk karena pikiran-pikiran manusia, yang berhubungan dengan idea, proses, dan penalaran (Russeffendi ET, 1980 :148).

Matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris. Kemudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep matematika supaya konsep-konsep matematika yang terbentuk itu mudah dipahami oleh orang lain dan dapat dimanipulasi secara tepat,  maka  digunakan  bahasa  matematika  atua  notasi  matematika  yang  bernilai  global (universal). Konsep matematika didapat karena proses berpikir, karena itu logika adalah dasar terbentuknya matematika.

Beberapa Definisi Para Ahli Mengenai Matematika antara lain :

1.       Russefendi (1988 : 23)

Matematika terorganisasikan dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma,  dan  dalil-dalil  di  mana  dalil-dalil  setelah  dibuktikan  kebenarannya berlaku secara umum, karena itulah matematika sering disebut ilmu deduktif.

2.       James dan James (1976).

Matematika adalah ilmu tentang logika, mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsepkonsep yang berhubungan satu dengan lainnya. Matematika terbagi dalam tiga bagian besar yaitu  aljabar,  analisis  dan  geometri.  Tetapi  ada  pendapat  yang  mengatakan  bahwa matematika terbagi menjadi empat bagian yaitu aritmatika, aljabar, geometris dan analisis dengan aritmatika mencakup teori bilangan dan statistika.

3.       Johnson dan Rising dalam Russefendi (1972)

Matematika   adalah   pola   berpikir,   pola   mengorganisasikan,pembuktian   yang   logis, matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat , jelas dan akurat representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai ide daripada mengenai bunyi. Matematika adalah pengetahuan struktur yang terorganisasi, sifat-sifat dalam teori-teori dibuat secara deduktif berdasarkan kepada unsur yang tidak didefinisikan, aksioma, sifat atau teori yang telah dibuktikan kebenarannya adalah ilmu tentang keteraturan pola atau ide, dan matematika itu adalah suatu seni, keindahannya terdapat pada keterurutan dan keharmonisannya.

4.       Reys - dkk (1984)

Matematika adalah telaahan tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat.

5.       Kline (1973)

Matematika itu bukan pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam.

Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif, karena proses mencari kebenaran (generalisasi) dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan yang lain. Metode pencarian kebenaran yang dipakai adalah metode deduktif, tidak dapat dengan cara induktif. Pada ilmu pengetahuan alam adalah metode induktif dan eksperimen.

Walaupun dalam matematika mencari kebenaran itu dapat dimulai dengan cara induktif, tetapi seterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus dapat dibuktikan dengan cara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi dari sifat, teori atau dalil itu dapat diterima kebenarannya sesudah dibuktikan secara deduktif. 

Contoh dalam ilmu fisika, bila seorang melakukan percobaan (eksperimen) sebatang logam dipanaskan maka memuai dan dilanjutkan dengan logam-logam yang lainnya, dipanaskan ternyata memuai juga, maka  ia dapat membuat kesimpulan (generalisasi) bahwa setiap logam yang dipanaskan itu dapat memuai. Generalisasi yang dibuat secara induktif tersebut dalam ilmu fisika dapat dibenarkan contoh dalam ilmu fisika di atas , pada matematika contoh-contoh seperti itu baru dianggap sebagai generalisasi jika kebenarannya dapat dibuktikan secara deduktif. 

Pada  pembelajaran  matematika  di  SD  pembuktian  dengan  cara  deduktif  masih  sulit dilaksanakan. Karena itu siswa SD hanya melakukan eksperimen (metode induktif). Percobaan-percobaan inipun masih menggunakan benda-benda konkrit (nyata). Untuk pembuktian deduktif masih  sulit  dilaksanakan  karena  pembuktian  deduktif  lebih  abstrak  dan  menuntut  siswa mempunyai  pengetahuan-pengetahuan  siswa  yang  sebelumnya.  

 Matematika merupakan ilmu terstruktur yang terorganisasikan. Hal ini karena matematika  dimulai dari unsur yang tidak didefinisikan, kemudian unsur yang didefinisikan ke aksioma /  postulat  dan akhirnya  pada  teorema.  Konsep-konsep  amtematika  tersusun secara  hierarkis,  terstruktur, logis, dan sistimatis mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep  yang paling kompleks. Oleh karena itu untuk mempelajari matematika, konsep sebelumnya yang  menjadi  prasyarat,  harus  benar-benar  dikuasai  agar  dapat  memahami  topik  atau  konsep selanjutnya.

Dalam  pembelajaran  matematika  guru  seharusnya  menyiapkan  kondisi  siswanya  agar mampu menguasai konsep-konsep yang akan dipelajari mulai dari yang sederhana sampai yang lebih kompleks. Contoh seorang siswa yang akan mempelajari sebuah volume kerucut haruslah mempelajari  mulai dari lingkaran, luas lingkaran, bangun ruang dan akhirnya volume kerucut. Untuk dapat  mempelajari topik volume balok, maka siswa harus mempelajari rusuk / garis, titik sudut, sudut,  bidang datar persegi dan persegi panjang, luas persegi dan persegi panjang, dan akhirnya volume  balok. Struktur matematika adalah sebagai berikut :

a.       Unsur-unsur yang tidak didefinisikan

Misal : titik, garis, lengkungan, bidang, bilangan dll.  Unsur-unsur ini ada, tetapi kita tidak dapat mendefinisikannya.

 b.      Unsur-unsur yang didefinisikan

Dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan maka terbentuk unsur-unsur yang didefinisikan. Misal : sudut, persegi panjang, segitiga, balok, lengkungan tertutup sederhana,   bilangan  ganjil, pecahan desimal, FPB dan KPK dll.

c.       Aksioma dan postulat

Dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan dan unsur-unsur yang didefinisikan dapat dibuat asumsi-asumsi yang dikenal dengan aksioma atau postulat.

Misal : ~  Melalui 2 titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis.  ~  Semua sudut siku-siku satu dengan lainnya sama besar.  ~  Melalui sebuah titik hanya dapat dibuat sebuah garis yang tegak lurus ke sebuah garis yang lain.  ~  Sebuah segitiga tumpul hanya mempunyai sebuah sudut yang lebih besar dari 90⁰.  Aksioma tidak perlu dibuktikan kebenarannya tetapi dapat diterima kebenarannya berdasarkan pemikiran yang logis.

d.      Dalil atau Teorema

Dari unsur-unsur yangtidak didefinisikan dan aksioma maka disusun teorema-teorema atau dalil-dalil yang kebenarannya harus dibuktikan dengan cara deduktif.  Misal : ~ Jumlah 2 bilangan ganjil adalah genap ~ Jumlah ketiga sudut pada sebuah segitiga sama dengan 180⁰ ~ Jumlah kuadrat sisi siku-siku pada sebuah segitiga siku-siku sama dengan Kuadrat sisi miringnya.

Matematika  disebut sebagai  ilmu tentang  pola karena  pada matematika sering dicari keseragaman seperti keterurutan, keterkaitan pola dari sekumpulan konsep-konsep tertentu atau model yang merupkan representasinya untuk membuat generalisasi.

Misal : Jumlah a bilangan genap selamanya sama dengan a². Contoh :  a = 1    maka jumlahnya =  1 =  1².  Selanjutnya 1 dan 3 adalah bilangan-bilangan ganjil jumlahnya adalah 4 = 2². Berikutnya 1, 3, 5, dan 7, maka jumlahnya adalah 16 = 4² dan seterusnya.  Dari contoh-contoh tersebut, maka dapat dibuat generalisasi yang berupa pola yaitu jumlah a bilangan ganjil yang berurutan sama dengan a².

Matematika disebut ilmu tentang hubungan karena konsep matematika satu dengan lainnya saling berhubungan.  Misalnya : Antara persegi panjang dengan balok, antara persegi dengan kubus, antara kerucut dengan lingkaran, antara 5 x 6 = 30 dengan 30 : 5 = 6. Antara 10² = 100 dengan 100  = 10.  Demikian juga cabang matematika satu dengan lainnya saling berhubungan seperti aritmatika, aljabar, geometri dan statistika, dan analisis.

Matematika yang terdiri dari simbol-simbol yang sangat padat arti dan bersifat internasional. Padat arti berarti simbol-simbol matematika ditulis dengan cara singkat tetapi mempunyai arti
yang luas. Misal :    9 = 3 ,  3 + 5 = 8,         3 ! = 1 x 2 x 3. log 100 = 2

Matematika sebagai ratu ilmu artinya matematika sebagai alat dan pelayan ilmu yang lain.